Можно ли сыграть Скакуна с руки во время Поиска Неприятностей?
Нет.

Со Скакуном можно сражаться только во время Открытия Двери. Можно ли сбрасывать Скакуна для автосмывки (по аналогии с Наемником)?
Нет, если на карте не сказано обратного.

У меня огнедышащий Скакун. Значит ли это, что мои атаки становятся огненными/пламенными?
Да.